Тригонометрия Примеры

$\sec (- \frac{7 π}{12})$

Этап 1

Заменим $\sec (- \frac{7 π}{12})$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $- \frac{7 π}{12}$ можно разделить на $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Этап 2.2

Используем формулу косинуса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Этап 2.4.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6})}$

Этап 2.4.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.8

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ на $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ на $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{(- \sqrt{6} + \sqrt{2}) (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

Этап 3.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.8.2

Разделим $- \sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$- 3.86370330 \dots$