Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Этап 1

Точное значение $\cos (22.5)$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $22.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Этап 1.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Этап 1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Этап 1.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Этап 1.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Этап 1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Этап 1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Этап 2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 3

Перепишем ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ в виде ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Этап 3.5

Упростим.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 9

Перепишем $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3

Добавим $0$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$