Тригонометрия Примеры

$f (x) = - 2 \cos (3 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ в виде уравнения.

$y = - 2 \cos (3 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 \cos (3 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 \cos (3 y) = x$ .

$- 2 \cos (3 y) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 y) = x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (3 y) = x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (3 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (3 y)$ на $1$ .

$\cos (3 y) = \frac{x}{- 2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (3 y) = - \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$

Этап 3.4

Разделим каждый член $3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $3 y = \arccos (- \frac{x}{2})$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ обратной к $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x)}{2})}{3}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (3 x)$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2})}{3}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 (1)})}{3}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x))}{2 \cdot 1})}{3}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x)}{1})}{3}$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $- \cos (3 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Этап 5.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Этап 5.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = - 1 (- x)$

Этап 5.3.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = 1 x$

Этап 5.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$ — обратная к $f (x) = - 2 \cos (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}$