Тригонометрия Примеры

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Этап 2

Умножим $8$ на $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Этап 3

Умножим $- 4 i (8 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Этап 3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Этап 3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Этап 4.2

Умножим $- 32$ на $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Этап 5

Изменим порядок $32 \sqrt{3} i$ и $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Этап 6

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 7

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 8

Подставим фактические значения $a = 32$ и $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Этап 9

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Этап 9.1.2

Возведем $32$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Этап 9.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Этап 9.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Этап 9.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Этап 9.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $1024$ на $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Этап 9.3.2

Возведем $32$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Этап 9.3.3

Добавим $3072$ и $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Этап 9.3.4

Перепишем $4096$ в виде $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Этап 9.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 64$

Этап 10

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Этап 11

Поскольку обратный тангенс $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 12

Подставим значения $θ = \frac{π}{3}$ и $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$