Тригонометрия Примеры

$(3 - 2 i) \cdot (7 + 6 i)$

Этап 1

Развернем $(3 - 2 i) (7 + 6 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (7 + 6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $3$ на $7$ .

$21 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Этап 2.1.2

Умножим $6$ на $3$ .

$21 + 18 i - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Этап 2.1.3

Умножим $7$ на $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 2 i (6 i)$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2 i (6 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $6$ на $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i i$

Этап 2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i)$

Этап 2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i^{1})$

Этап 2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{1 + 1}$

Этап 2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{2}$

Этап 2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 \cdot - 1$

Этап 2.1.6

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i + 12$

Этап 2.2

Добавим $21$ и $12$ .

$33 + 18 i - 14 i$

Этап 2.3

Вычтем $14 i$ из $18 i$ .

$33 + 4 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = 33$ и $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 33^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 33^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $33$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 1089}$

Этап 6.3

Добавим $16$ и $1089$ .

$| z | = \sqrt{1105}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{4}{33})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{4}{33}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0.12062366$ .

$θ = 0.12062366$

Этап 9

Подставим значения $θ = 0.12062366$ и $| z | = \sqrt{1105}$ .

$\sqrt{1105} (\cos (0.12062366) + i \sin (0.12062366))$