Тригонометрия Примеры

$y = - 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 6$

$b = - 3$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $6$

Этап 3

Найдем период $- 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $- 3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{2}}{- 3}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

Этап 4.5

Умножим $- \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

Сдвиг фазы: $1 (\frac{π}{2}) \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.5.3

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $6$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{6} + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{6}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{π}{2}$ в виде $- \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- π + π}{2})$

Этап 6.1.2.2.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{0}{2})$

Этап 6.1.2.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \cdot 0$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{3} + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 1 π + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2 + π}{2})$

Этап 6.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π + π}{2})$

Этап 6.2.2.4.2

Добавим $- 2 π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π}{2})$

Этап 6.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.2.2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 6.2.2.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.2.9

Умножим $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \cdot - 1$

Этап 6.2.2.9.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 6$

Этап 6.2.2.10

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Объединим $- 3$ и $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π + π}{2})$

Этап 6.3.2.2.2

Добавим $- 3 π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{2})$

Этап 6.3.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2})$

Этап 6.3.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 (1)})$

Этап 6.3.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 \cdot 1})$

Этап 6.3.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- π}{1})$

Этап 6.3.2.2.3.2.4

Разделим $- π$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- π)$

Этап 6.3.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (0)$

Этап 6.3.2.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \cdot 0$

Этап 6.3.2.5

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 6.3.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 1 (2 π) + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.2

Чтобы записать $- 2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Объединим $- 2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2 + π}{2})$

Этап 6.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π + π}{2})$

Этап 6.4.2.4.2

Добавим $- 4 π$ и $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2})$

Этап 6.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \cdot 1$

Этап 6.4.2.8

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6$

Этап 6.4.2.9

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.2

Перепишем $- 1 \frac{5 π}{2}$ в виде $- \frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 5 π + π}{2})$

Этап 6.5.2.2.2

Добавим $- 5 π$ и $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π}{2})$

Этап 6.5.2.2.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2})$

Этап 6.5.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 (1)})$

Этап 6.5.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{1})$

Этап 6.5.2.2.3.2.4

Разделим $- 2 π$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 2 π)$

Этап 6.5.2.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (0)$

Этап 6.5.2.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \cdot 0$

Этап 6.5.2.5

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $6$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

Этап 8