Тригонометрия Примеры

$y = \sec (2 x + \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \sec (2 x + \frac{π}{2})$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \sec (2 x + \frac{π}{2})$ .

$2 x + \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- π - π}{2}$

Этап 1.2.1.3

Вычтем $π$ из $- π$ .

$2 x = \frac{- 2 π}{2}$

Этап 1.2.1.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$2 x = \frac{2 (- π)}{2}$

Этап 1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 x = \frac{2 (- π)}{2 (1)}$

Этап 1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x = \frac{- π}{1}$

Этап 1.2.1.4.2.4

Разделим $- π$ на $1$ .

$2 x = - π$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x = - π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- π}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- π}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- π}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $2 x + \frac{π}{2}$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{3 π - π}{2}$

Этап 1.4.1.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$2 x = \frac{2 π}{2}$

Этап 1.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{2 π}{2}$

Этап 1.4.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$2 x = π$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = \sec (2 x + \frac{π}{2})$ находится на промежутке $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , где $- \frac{π}{2}$ и $\frac{π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 1.6.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \sec (2 x + \frac{π}{2})$ находятся в $- \frac{π}{2}$ , $\frac{π}{2}$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\sec (2 x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8