Тригонометрия Примеры

$y = 0.5 \tan (\frac{1}{3} x) + 1$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 0.5 \tan (\frac{x}{3}) + 1$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 0.5 \tan (\frac{x}{3}) + 1$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Умножим $3 (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 π}{2}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{x}{3}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = 0.5 \tan (\frac{x}{3}) + 1$ находится на промежутке $(- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , где $- \frac{3 π}{2}$ и $\frac{3 π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 1.6.3

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 0.5 \tan (\frac{x}{3}) + 1$ находятся в точках $- \frac{3 π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ и в каждой точке $3 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 0.5$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 1$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $0.5 \tan (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 4.1.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 4.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 3$

Этап 4.2.5

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$3 π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 \cdot 3$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $1$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $3 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $1$

Этап 8