Тригонометрия Примеры

$y = 2 \sin (\frac{1}{4} x) + 3$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = \frac{1}{4}$

$c = 0$

$d = 3$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $2 \sin (\frac{x}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Этап 3.1.3

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Этап 3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 4$

Этап 3.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$8 π$

Этап 3.2

Найдем период $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Этап 3.2.3

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Этап 3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 4$

Этап 3.2.5

Умножим $4$ на $2$ .

$8 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$8 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{1}{4}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 \cdot 4$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $4$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $8 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $3$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{0}{4}) + 3$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Разделим $0$ на $4$ .

$f (0) = 2 \sin (0) + 3$

Этап 6.1.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Этап 6.1.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = 3$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π}{4}) + 3$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 (π)}{4}) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) + 3$

Этап 6.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 3$

Этап 6.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot 1 + 3$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (2 π) = 2 + 3$

Этап 6.2.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f (2 π) = 5$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4 π$ .

$f (4 π) = 2 \sin (\frac{4 π}{4}) + 3$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (4 π) = 2 \sin (\frac{4 π}{4}) + 3$

Этап 6.3.2.1.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (4 π) = 2 \sin (π) + 3$

Этап 6.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (4 π) = 2 \sin (0) + 3$

Этап 6.3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (4 π) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 6.3.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (4 π) = 0 + 3$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (4 π) = 3$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 π$ .

$f (6 π) = 2 \sin (\frac{6 π}{4}) + 3$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (6 π) = 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (6 π) = 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (6 π) = 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 3$

Этап 6.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (6 π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

Этап 6.4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (6 π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 3$

Этап 6.4.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (6 π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 3$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (6 π) = 2 \cdot - 1 + 3$

Этап 6.4.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (6 π) = - 2 + 3$

Этап 6.4.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (6 π) = 1$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8 π$ .

$f (8 π) = 2 \sin (\frac{8 π}{4}) + 3$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 π$ .

$f (8 π) = 2 \sin (\frac{4 (2 π)}{4}) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (8 π) = 2 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (8 π) = 2 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (8 π) = 2 \sin (\frac{2 π}{1}) + 3$

Этап 6.5.2.1.1.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (8 π) = 2 \sin (2 π) + 3$

Этап 6.5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (8 π) = 2 \sin (0) + 3$

Этап 6.5.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (8 π) = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 6.5.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (8 π) = 0 + 3$

Этап 6.5.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (8 π) = 3$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ 2 π & 5 \\ 4 π & 3 \\ 6 π & 1 \\ 8 π & 3 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $8 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ 2 π & 5 \\ 4 π & 3 \\ 6 π & 1 \\ 8 π & 3 \end{array}$

Этап 8