Тригонометрия Примеры

$f (x) = \log (x - 2) + 1$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log (x - 2) + 1$ не определено.

$x \leq 2$

Этап 1.2

Поскольку $\log (x - 2) + 1$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\log (x - 2) + 1$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 2$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \log ((3) - 2) + 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (3) = \log (1) + 1$

Этап 2.2.1.2

Логарифм $1$ по основанию $10$ равен $0$ .

$f (3) = 0 + 1$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (3) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 3

Найдем точку в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f (12) = \log ((12) - 2) + 1$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $2$ из $12$ .

$f (12) = \log (10) + 1$

Этап 3.2.1.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$f (12) = 1 + 1$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (12) = 2$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 3.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 4

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \log ((4) - 2) + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (4) = \log (2) + 1$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\log (2) + 1$ .

$\log (2) + 1$

Этап 4.3

Преобразуем $\log (2) + 1$ в десятичное представление.

$y = 1.30102999$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 2$ и точек $(3, 1), (12, 2), (4, 1.30102999)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 1 \\ 4 & 1.301 \\ 12 & 2 \end{array}$

Этап 6