Тригонометрия Примеры

${(1 - i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Умножим $10$ на $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Умножим $5$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Умножим $i^{4}$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.25.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.26

Умножим $5$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Этап 2.1.27

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.28

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Этап 2.1.29

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Этап 2.1.30

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.30.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.30.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.30.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Этап 2.1.31

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $10$ из $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Этап 2.2.3

Добавим $- 5 i$ и $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Этап 2.2.4

Вычтем $i$ из $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 4$ и $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Этап 6.3

Добавим $16$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Этап 6.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{4}{- 4}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{4}$ и $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$