Тригонометрия Примеры

${(2 - 2 i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Умножим $5$ на $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Умножим $80 (4 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $80$ на $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Умножим $10$ на $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Умножим $8$ на $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $5$ на $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Умножим $10 (16 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Умножим $16$ на $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.24.2

Умножим $10$ на $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.26

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Этап 2.1.27

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Этап 2.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Этап 2.1.29

Умножим $i$ на $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $320$ из $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 288$ и $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Этап 2.2.3

Добавим $- 160 i$ и $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Этап 2.2.4

Вычтем $32 i$ из $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 128$ и $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $128$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 128$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Этап 6.3

Добавим $16384$ и $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Этап 6.4

Перепишем $32768$ в виде $128^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $16384$ из $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $16384$ в виде $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{128}{- 128}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{4}$ и $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$