Тригонометрия Примеры

\sin (67.5)

$\sin (67.5)$

Этап 1

Представим

67.5

$67.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

2

$2$ .

\sin (\frac{135}{2})

$\sin (\frac{135}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для синуса.

\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$

Этап 3

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$

Этап 4

Упростим

\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}$

Этап 4.2

Точное значение

\cos (45)

$\cos (45)$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.3

Умножим

- - \frac{\sqrt{2}}{2}

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.3.2

Умножим

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ на

1

$1$ .

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.4

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 4.7

Умножим

\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим

\frac{2 + \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.7.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 4.8

Перепишем

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Десятичная форма:

0.92387953 \dots

$0.92387953 \dots$