Тригонометрия Примеры

$\sec (\frac{π}{12})$

Этап 1

Заменим $\sec (\frac{π}{12})$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\cos (\frac{π}{12})}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{12})}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{π}{12}$ можно разделить на $\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})}$

Этап 2.2

Используем формулу косинуса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 2.4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ на $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Этап 3.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Этап 3.8.2

Перепишем $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ в виде $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Этап 3.10

Умножим $- - \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Этап 3.10.2

Умножим $\sqrt{6}$ на $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Десятичная форма:

$1.03527618 \dots$