Тригонометрия Примеры

$\tan (- 105)$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $- 105$ можно разделить на $45 - 150$ .

$\tan (45 - 150)$

Этап 2

Используем формулу тангенса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.3

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Этап 5.2

Умножим $\tan (150)$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

Этап 5.3

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

Этап 5.4

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 5.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Этап 9.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 9.6

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 10.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 10.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Этап 10.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Этап 10.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $3 \sqrt{3} + 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Этап 10.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Этап 10.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Этап 10.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Этап 10.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Этап 11.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Этап 11.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Этап 11.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 11.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 11.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 11.4.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$3.73205080 \dots$