Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \sin (a)} + \frac{1}{1 + \sin (a)} = 2 \sec^{2} (a)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{1 - \sin (a)} + \frac{1}{1 + \sin (a)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \sin (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} + \frac{1}{1 + \sin (a)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \sin (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} + \frac{1}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \sin (a)}$ на $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} + \frac{1}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \sin (a)}$ на $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} + \frac{1 - \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))} + \frac{1 - \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (a) + 1 - \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \sin (a) - \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.2

Вычтем $\sin (a)$ из $\sin (a)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2}{1 - \sin^{2} (a)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2}{\cos^{2} (a)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2}{\cos^{2} (a)}$ в виде $2 \sec^{2} (a)$ .

$2 \sec^{2} (a)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 - \sin (a)} + \frac{1}{1 + \sin (a)} = 2 \sec^{2} (a)$ — тождество