Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) (1 - \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.3

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4

Перепишем $1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Переставляем члены.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{2}{\sin (x)}$ в виде $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$ — тождество