Тригонометрия Примеры

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (t)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (t) (1 - \cos (t))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ на $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \cos (t) (1 - \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \cos (t) \cdot 1 - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \cos (t) - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3

Умножим $- \cos (t) (- \cos (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (t) + 1 \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3.2

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3.4

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \cos (t) + {\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.4

Умножим $\sin (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.4.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.5

Перепишем $- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Переставляем члены.

$\frac{- \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.6.5.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos (t) + 1}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $- \cos (t) + 1$ и $1 - \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{1}{\sin (t)}$ в виде $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$ — тождество