Тригонометрия Примеры

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan^{3} (x)$

Этап 2.3

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\cos (x)}^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.3.2

Умножим $\cos (x)$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\cos (x)$ на ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из ${\sin (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.6

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Этап 3.7

Чтобы записать $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.2

Умножим $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Этап 3.8.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3} + \sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Этап 3.10

Упростим числитель.

$\frac{{(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Переставляем члены.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Этап 4.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$ в виде $\cot (x) \sec^{4} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{4} (x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$ — тождество