Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \sin^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}$

Этап 2.3

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.2.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1}$

Этап 5

Разделим ${\sin (x)}^{2}$ на $1$ .

$\sin^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \sin^{2} (x)$ — тождество