Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Этап 2.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.7

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.6

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Этап 2.7.7

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Этап 2.7.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.7.9

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ — тождество