Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{11 π}{8})$

Этап 1

Представим $\frac{11 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\sin (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как синус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}$

Этап 4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Этап 4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 4.8

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 4.9

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.92387953 \dots$