Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Этап 1.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 5

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{\sin (x)}$ и $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$

Этап 9

Развернем $(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим противоположные члены в $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\csc (x) (- \sin (x))$ и $\sin (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) - \csc (x) \sin (x) + \csc (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.1.2

Добавим $- \csc (x) \sin (x)$ и $\csc (x) \sin (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.1.3

Добавим $\csc (x) \csc (x)$ и $0$ .

$\csc (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\csc (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.2.1.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\csc (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\csc^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Этап 10.2.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 10.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 10.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc^{2} (x) - \sin^{2} (x)$