Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} + \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} + \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.2

Добавим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{1}{\cos (x)} + 0)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.4

Добавим $2 \frac{1}{\cos (x)}$ и $0$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \frac{1}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.5.2

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 6.6.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{2}{(\sec (x) + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 7.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{2}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$