Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Этап 3.4.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

Этап 3.6.3

Вычтем $2 π$ из $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 (- \frac{5 π}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 π}{12}$ в числитель.

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

Этап 5.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

Этап 5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Этап 6

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

Этап 7.3.1.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 7.3.1.3

Чтобы записать $- \frac{π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.1.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.1.4.3

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Этап 7.3.1.4.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Этап 7.3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Этап 7.3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

Этап 7.3.1.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

Этап 7.3.1.6.3

Вычтем $2 π$ из $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Этап 7.3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Этап 7.3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Этап 7.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Этап 7.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Этап 7.3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 8

Найдем период $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{5 π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 9.4.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 10

Период функции $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$