Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$x = π \cdot 2 - π$

Этап 6.2.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = 2 π - π$

Этап 6.2.2.1.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 7

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n$ , для любого целого $n$