Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Этап 4.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Этап 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{4 π}{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Умножим $2 \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8

Добавим $4 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $4 π$ к $- \frac{2 π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Этап 8.2

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $4 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Этап 8.4.2

Вычтем $2 π$ из $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{10 π}{3}$

Этап 9

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{8 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$