Тригонометрия Примеры

$(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Этап 2

Разложим $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sec (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (x) - 1$ к $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sec (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sec (x) = 1$

Этап 4.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arcsec (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 4.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 5.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$