Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 7

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = - 1$

Этап 8

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 10

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 11

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 11.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 12

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 13.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 13.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 13.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 13.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 13.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 14

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$