Тригонометрия Примеры

$2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ на $2 \sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ на $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.2.2.2

Разделим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.3.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 1.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 1.3.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 1.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 1.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Этап 4

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 6.1.4.2

Вычтем $π$ из $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Этап 6.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 7

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 8

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$