Тригонометрия Примеры

$\frac{30}{x^{2} - 9} + 1 = \frac{5}{x - 3}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{30}{x^{2} - 9} = \frac{5}{x - 3} - 1$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{30}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{5}{x - 3} - 1$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{5}{x - 3} - 1$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 3) (x - 3), x - 3, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

НОК $x + 3, x - 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (x - 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{5}{x - 3} - 1$ умножим на $(x + 3) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{5}{x - 3} - 1$ на $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$30 = \frac{5}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$30 = \frac{5}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$30 = \frac{5}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$30 = 5 (x + 3) - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$30 = 5 x + 5 \cdot 3 - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.3

Умножим $5$ на $3$ .

$30 = 5 x + 15 - ((x + 3) (x - 3))$

Этап 4.3.1.4

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$30 = 5 x + 15 - (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$30 = 5 x + 15 - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Этап 4.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$30 = 5 x + 15 - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.5

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$30 = 5 x + 15 - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.5.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$30 = 5 x + 15 - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.5.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$30 = 5 x + 15 - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Умножим $x$ на $x$ .

$30 = 5 x + 15 - (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Этап 4.3.1.6.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$30 = 5 x + 15 - (x^{2} - 9)$

Этап 4.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$30 = 5 x + 15 - x^{2} - - 9$

Этап 4.3.1.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$30 = 5 x + 15 - x^{2} + 9$

Этап 4.3.2

Добавим $15$ и $9$ .

$30 = 5 x - x^{2} + 24$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $5 x - x^{2} + 24 = 30$ .

$5 x - x^{2} + 24 = 30$

Этап 5.2

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$5 x - x^{2} + 24 - 30 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $30$ из $24$ .

$5 x - x^{2} - 6 = 0$

Этап 5.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x - x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Изменим порядок $5 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 5 x - 6 = 0$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 6 = 0$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 5.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 5.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 5 x) - 1 (6)$ .

$- (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

Этап 5.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 5.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Этап 5.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\frac{30}{x^{2} - 9} + 1 = \frac{5}{x - 3}$ истинным.

$x = 2$