Тригонометрия Примеры

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1

Упростим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.2

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.3

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.2.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.2.6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ :

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 5

Упростим

$2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим

$4$ на

$2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.3.2

Вычтем

$π$ из

$8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6

Найдем период

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции

$\cos (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$