Тригонометрия Примеры

z = 2 i

$z = 2 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

| z |

$| z |$ — модуль, а

θ

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

z = a + b i

$z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения

a = 0

$a = 0$ и

b = 2

$b = 2$ .

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| z | = 2

$| z | = 2$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

θ = arctan (\frac{2}{0})

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Этап 6

Поскольку аргумент не определен и

b

$b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 7

Подставим значения

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$ и

| z | = 2

$| z | = 2$ .

2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

z = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$z = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$