Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.3

Умножим $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4

Точное значение $\sin (\frac{7 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ в виде $- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Этап 2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.5$