Тригонометрия Примеры

${(1 - \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 - 5 (\sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.7.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{1} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 \cdot - 1) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Умножим $10 (3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot - 3 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.12.2

Умножим $10$ на $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Умножим $10$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.15.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Возведем $3$ в степень $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{27} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.19.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (3 \sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.26

Умножим $3$ на $10$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 (\sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.27

Умножим $5$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.28

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.28.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.28.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.29

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.30

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.31.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{4}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.31.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.31.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2}{1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.31.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{2} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.32

Возведем $3$ в степень $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.33

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.33.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(i^{2})}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.33.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(- 1)}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.33.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 \cdot 1) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.34

Умножим $5 (9 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.34.1

Умножим $9$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 \cdot 9 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.34.2

Умножим $5$ на $9$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Этап 2.1.35

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.35.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3})}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.35.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.36

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Этап 2.1.37

Перепишем ${\sqrt{3}}^{5}$ в виде $\sqrt{3^{5}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{3^{5}} i^{5}$

Этап 2.1.38

Возведем $3$ в степень $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{243} i^{5}$

Этап 2.1.39

Перепишем $243$ в виде $9^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.39.1

Вынесем множитель $81$ из $243$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{81 (3)} i^{5}$

Этап 2.1.39.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{9^{2} \cdot 3} i^{5}$

Этап 2.1.40

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - (9 \sqrt{3}) i^{5}$

Этап 2.1.41

Умножим $9$ на $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i^{5}$

Этап 2.1.42

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (i^{4} i)$

Этап 2.1.43

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.43.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.43.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.43.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (1 i)$

Этап 2.1.44

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $30$ из $1$ .

$- 5 \sqrt{3} i - 29 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 5 \sqrt{3} i$ и $30 \sqrt{3} i$ .

$25 \sqrt{3} i - 29 + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Этап 2.2.3

Вычтем $9 \sqrt{3} i$ из $25 \sqrt{3} i$ .

$16 \sqrt{3} i - 29 + 45$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $- 29$ и $45$ .

$16 \sqrt{3} i + 16$

Этап 2.2.4.2

Изменим порядок $16 \sqrt{3} i$ и $16$ .

$16 + 16 \sqrt{3} i$