Тригонометрия Примеры

$\sin (4 x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\sin (2 (2 x)) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.7

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.7.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.8

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 1.1.9

Применим формулу двойного угла для синуса.

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 1.1.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 1.2

Вычтем $2 \sin (x) \cos (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Этап 2

Разложим $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3

Перепишем $4 \sin^{2} (x)$ в виде ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) = 0$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x)))) = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x))) = 0$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $1 + 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 6.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 6.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 6.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 6.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 6.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 6.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $1 - 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 7.2.5

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 7.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 7.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 7.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.3

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.4

Объединим $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{π}{6} + 2 π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.5

Объединим $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$