Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Этап 1

Заменим $\tan^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Этап 4

Разложим $u^{2} + u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 7

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = 1, - 2$

Этап 9

Подставим $\sec (x)$ вместо $u$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (1)$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $arcsec (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 11.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 11.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 11.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 2)$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $arcsec (- 2)$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 12.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 12.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$