Тригонометрия Примеры

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \csc (x) - 1 = 0$

Этап 1

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2} \csc (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Этап 5

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $arccsc (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 8

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 8.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$