Тригонометрия Примеры

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Этап 1

Разложим $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\tan^{4} (x)$ в виде ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = \tan^{2} (x)$ . Подставим $u$ вместо $\tan^{2} (x)$ для всех.

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 20 u + 64$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $64$ , а сумма — $- 20$ .

$- 16, - 4$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Этап 1.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Этап 1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (x)$ и $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Этап 1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Этап 1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Этап 1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (x) + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (x) + 4$ к $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (x) + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 4$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 4)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Этап 3.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Этап 3.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 3.2.5.2

Результирующий угол $1.81577498$ является положительным и отличается от $- 1.32581766 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.81577498$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $π$ к $- 1.32581766$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.32581766 + π$

Этап 3.2.7.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.32581766$

Этап 3.2.7.3

Вычтем $1.32581766$ из $3.14159265$ .

$1.81577498$

Этап 3.2.7.4

Перечислим новые углы.

$x = 1.81577498$

Этап 3.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan (x) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x) - 4$ к $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 4$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (4)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Этап 4.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Этап 4.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Этап 4.2.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Этап 4.2.5.3

Добавим $3.14159265$ и $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Этап 4.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\tan (x) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x) + 2$ к $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 2$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 2)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Этап 5.2.4

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $2.03444393$ является положительным и отличается от $- 1.10714871 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.03444393$

Этап 5.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $π$ к $- 1.10714871$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.10714871 + π$

Этап 5.2.7.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.10714871$

Этап 5.2.7.3

Вычтем $1.10714871$ из $3.14159265$ .

$2.03444393$

Этап 5.2.7.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.03444393$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\tan (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (x) - 2$ к $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 2$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (2)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Найдем значение $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Этап 6.2.4

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 6.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Этап 6.2.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 6.2.5.3

Добавим $3.14159265$ и $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Этап 6.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ верно.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $1.81577498 + π n$ и $1.81577498 + π n$ в $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $1.32581766 + π n$ и $4.46741031 + π n$ в $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.3

Объединим $2.03444393 + π n$ и $2.03444393 + π n$ в $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.4

Объединим $1.10714871 + π n$ и $4.24874137 + π n$ в $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , для любого целого $n$