Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π + π}{4}$

Этап 3.3

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π + π}{4}$

Этап 6.2.3

Добавим $5 π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π}{4}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{4}$

Этап 6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = 3 π$

Этап 7

Найдем период $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$