Тригонометрия Примеры

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Этап 2.1.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.1.6

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.1.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.1.8

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.9.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Этап 2.1.10.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Этап 2.1.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.1.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$ — тождество