Тригонометрия Примеры

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$ в виде $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ .

$(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Этап 2.2

Развернем $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $5 \sin (x) (5 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin (x) \sin (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.1.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 {\sin (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \cos (x)$

Этап 2.3.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 2.3.1.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 2.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $25 \sin (x) \cos (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Этап 2.3.3

Добавим $25 \cos (x) \sin (x)$ и $25 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Этап 2.4

Перенесем $25 \cos^{2} (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.5

Вынесем множитель $25$ из $25 \sin^{2} (x)$ .

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.6

Вынесем множитель $25$ из $25 \cos^{2} (x)$ .

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.7

Вынесем множитель $25$ из $25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x))$ .

$25 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.8

Применим формулу Пифагора.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.9

Умножим $25$ на $1$ .

$25 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $25$ из $25 + 50 \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$25 (1) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $25$ из $50 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$ .

$25 (1 + 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 3.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$25 (1 + \sin (x) (2 \cos (x)))$

Этап 3.3

Избавимся от скобок.

$25 (1 + \sin (x) \cdot 2 \cos (x))$

Этап 3.4

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$25 (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Этап 3.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$25 (1 + \sin (2 x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 \cdot 1 + 25 \sin (2 x)$

Этап 4.2

Умножим $25$ на $1$ .

$25 + 25 \sin (2 x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$ — тождество