Тригонометрия Примеры

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2.2

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.5

Умножим $- - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + 1 \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.6

Развернем $(- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.2

Умножим $- 1 (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.4

Умножим $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.7.2

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + 0 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Добавим $2 \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.4

Вычтем ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.5

Добавим $2 \cos (x)$ и $2 \cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.6

Добавим $4 \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{4 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде $4 \cot (x) \csc (x)$ .

$4 \cot (x) \csc (x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$ — тождество