Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)} = \tan (a) + \cot (b)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan (a) + \cot (b)$

Этап 4

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $\tan (a)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cot (b)$

Этап 4.2

Запишем $\cot (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 5

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Этап 5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (a) \sin (b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)}$

Этап 5.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (b) \cos (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (a) \sin (b) + \cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)} = \tan (a) + \cot (b)$ — тождество