Тригонометрия Примеры

$\sec^{4} (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\sec^{4} (x)$ в виде ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Этап 1.2

Перепишем $\tan^{4} (x)$ в виде ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Этап 1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) = 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x)$

Этап 1.4

Перепишем многочлен.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Этап 1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = \sec^{2} (x)$ и $b = \tan^{2} (x)$ .

${(\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}^{2}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sec (x)$ и $b = \tan (x)$ .

${((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))}^{2}$

Этап 3

Применим правило умножения к $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2} {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$