Тригонометрия Примеры

$\tan (105)$

Этап 1

Чтобы перевести градусы в радианы, умножим на $\frac{π}{180 °}$ , поскольку полный оборот соответствует $360 °$ или $2 π$ радиан.

Этап 2

Точное значение $\tan (105)$ : $- 2 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.3

Применим формулу для суммы углов.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.4

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.5

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.6

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.7

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8

Упростим $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.1.2

Объединим.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.5.3.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.5.3.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.6

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.7

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.9

Упростим.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.10.1

Изменим порядок членов.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.10.2

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.10.3

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.11

Перепишем ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.12

Развернем $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.13.3

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14

Сократим общий множитель $12 + 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.2

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.14.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 2.8.16

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ рад.

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ рад.

Этап 4.2

Вынесем множитель $2$ из $180$ .

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ рад.

Этап 4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ рад.

Этап 4.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ рад.

Этап 5

Объединим $\frac{π}{180}$ и $\sqrt{3}$ .

$- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ рад.

Этап 6

Перепишем $- 1 \frac{π}{90}$ в виде $- \frac{π}{90}$ .

$- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ рад.