Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ в виде $\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ — тождество