Тригонометрия Примеры

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{4} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\tan^{4} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{4} (x) + \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{4} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 2.2

Умножим на $1$ .

$\tan^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot 1$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot 1$ .

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(\sec^{2} (x) - 1) \sec^{2} (x)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) \sec^{2} (x)$

Этап 5.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.4

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ в виде $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.7

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.7.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.8

Чтобы записать $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\cos (x)}^{4}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Умножим $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Этап 6.9.2

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}}$

Этап 6.9.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Этап 6.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Этап 6.11

Упростим числитель.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$ в виде $\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{4} (x) + \tan^{2} (x)$ — тождество