Тригонометрия Примеры

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

Этап 1

Вычтем $8 \tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $4 \tan (x)$ из $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4 \tan (x)$ из $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 \tan (x)$ из $- 8 \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $4 \tan (x)$ из $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ .

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sec^{2} (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec^{2} (x) - 2$ к $0$ .

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sec^{2} (x) = 2$

Этап 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Этап 5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 5.2.5

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 5.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.2.5.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 5.2.5.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.5.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 5.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 5.2.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 5.2.6.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.2.6.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$