Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (4 x) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos^{2} (4 x) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (4 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (4 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos^{2} (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (4 x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (4 x) = \frac{1}{2}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Этап 7.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 7.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 7.5.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$4 x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 7.5.1.5

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{4}$

Этап 7.5.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Этап 7.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Этап 7.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Этап 7.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.5.2.3.2

Умножим $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 4}$

Этап 7.5.2.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{7 π}{16}$

Этап 7.6

Найдем период $\cos (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 7.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 7.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 7.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 7.7

Период функции $\cos (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$4 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 8.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Этап 8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Этап 8.3.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Этап 8.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$4 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 8.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 8.5.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$4 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 8.5.1.5

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8.5.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{4}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 π}{4}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Этап 8.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Этап 8.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Этап 8.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Этап 8.5.2.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Этап 8.6

Найдем период $\cos (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 8.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 8.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 8.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 8.7

$x = \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{8}$ , для любого целого $n$